മുതലാളിത്തം സഹകരണ പ്രവര്‍ത്തനത്തിന് മൂല്യം തേടുമ്പോൾ

Siddik Rabiyath October 21, 2012

ആല്‍വിന്‍ റോത്ത് | ലോയ്ഡ് ഷേപ്ലി
Image Credit: Slate


കളികളില്‍ താല്പര്യമില്ലാത്തവര്‍ ആരുണ്ട്? കളികളുടെ ശാസ്ത്രീയതയും മനുഷ്യ സ്വഭാവത്തില്‍ അതിന്റെ വിവിധങ്ങളായ സ്വാധീനങ്ങളെയും കുറിച്ച് പ്രതിപാദിക്കുന്ന ശാസ്ത്ര ശാഖയാണ് ഗെയിം തിയറി. ഈവര്‍ഷത്തെ (2012-ലെ) സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിനുള്ള നോബല്‍ സമ്മാനം ലഭിച്ചിരിക്കുന്നത് ഗെയിം തിയറിയിലെ 'ഗയില്‍ - ഷേപ്ലി' എന്ന അല്‍ഗോരിതം രൂപകല്‍പന ചെയ്ത ലോയ്ഡ് ഷേപ്ലിക്കും, അത് വികസിപ്പിച്ച് വിലയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലല്ലാത്ത കമ്പോള പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ എങ്ങനെ മികച്ച രീതിയില്‍ പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്നു എന്ന് ശാസ്ത്രീയമായി വിശകലനം ചെയ്ത ആല്‍വിന്‍ റോത്തിനുമാണ് . പൊതുവില്‍ നിയോക്ലാസ്സിക്കല്‍ 1 സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രഞ്ജരുടെ കുത്തകയായി കരുതാവുന്ന സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിലെ നോബല്‍ സമ്മാനം, 2 ഒരുപാടൊന്നും വ്യത്യസ്തമല്ലെങ്കിലും കുറച്ചെങ്കിലും സെന്‍സിബിള്‍ ആയ, നിയോക്ലാസ്സിക്കള്‍ പഠനത്തില്‍പ്പെട്ട എന്നാല്‍ വിലയില്‍ ആധാരമല്ലാത്ത ഗവേഷണത്തിനു നല്‍കിയതിലൂടെ ആശ്വസിക്കാവുന്നതാണ്. കാരണം കമ്പോളത്തിലെ ക്രയ-വിക്രയം, വില (പ്രൈസ്‌) എന്ന മാനകത്തില്‍ മാത്രം പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്നതല്ല എന്ന വസ്തുതയാണ്. ഇതിലേക്ക് കണ്ണോടിക്കുന്നതാണ് ഈ കുറിപ്പ്. 3

സമ്മാന ജേതാക്കളെക്കുറിച്ച്

പ്രശസ്ത വാന ശാസ്ത്രഞ്ജന്‍ ഹാര്‍ലോ ഷേപ്ലിക്കും സഖിയായ വാനശാസ്ത്രഞ്ജ മാര്‍ത്ത ബെറ്റ്‌സിനും 4 പിറന്ന അഞ്ചുമക്കളില്‍ നാലാമനായാണ് ജൂണ്‍ 2, 1923-ല്‍ ലോയ്ഡ് ഷേപ്ലി ജനിച്ചത്‌. അഞ്ചുമക്കളും തങ്ങളുടെ മേഘലകളില്‍ വ്യക്തിമുദ്രകള്‍ പതിപ്പിച്ച പ്രതിഭകളാണ്. പിതാവായ ഹാര്‍ലോ ഷേപ്ലി എന്ന വാന ശാസ്ത്രഞ്ജന്റെ കണ്ടുപിടിത്തം, ഭൂമി പ്രപഞ്ചകേന്ദ്രമല്ല എന്ന കോപ്പര്‍നിക്കസ്സിന്റെ ആശയത്തെ ബഹുദൂരം മുന്നോട്ടു നയിച്ച ഒന്നാണ്. ഈ കണ്ടെത്തല്‍ വാദിക്കുന്നത്, ഭൂമി പോയിട്ടു സൂര്യന്‍പോലും ക്ഷീരപഥത്തിന്റെ കേന്ദ്രമല്ല അഥവാ ക്ഷീരപഥത്തിലെ വളരെ ചെറിയ ഒരു നക്ഷത്രം മാത്രമാണ് സൂര്യന്‍ എന്ന വസ്തുതയാണ് (അപ്പോള്‍ ഭൂമിയോ!)5. ഗ്രഹണം സാധ്യമാക്കുന്ന ചരങ്ങളില്‍ പഠനം നടത്തിയ അമ്മ മാര്‍ത്ത, പ്രഗല്‍ഭയായ ഒരു ഗണിതജ്ഞ കൂടിയായിരുന്നു.6 അമ്മയില്‍ നിന്നും വ്യത്യസ്ഥമല്ലാതെ, ഗണിതത്തില്‍ അതീവ പ്രാവീണ്യം തെളിയിച്ച, സ്വമേധയാ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രഞ്ജനായി അറിയപ്പെടാന്‍ ആഗ്രഹിക്കുന്ന വ്യക്തികൂടിയാണ് ലോയ്ഡ് ഷേപ്ലി. ഹാര്‍വഡ് സര്‍വ്വകലാശാലയില്‍ നിന്നും ബിരുദം നേടിയ ഷേപ്ലി, കുറച്ചു കാലം (രണ്ടാം ലോക മഹായുദ്ധ കാലം) ചൈനയില്‍ സൈനികസേവനം അനുഷ്ഠിച്ചു. 1953-ല്‍ പ്രിന്‍സ്ടണ്‍ സര്‍വകലാശാലയില്‍ നിന്നും പ്രൊഫസര്‍ ആല്‍ബര്‍ട്ട് ടക്കറിനു കീഴില്‍ ഡോക്ടറല്‍ ഡിഗ്രി കരസ്ഥമാക്കി.നോബല്‍ സമ്മാനത്തിനു പുറമേ, യു. എസ്. ആര്‍മി എയര്‍കോര്‍പ്‌സ് ഏര്‍പ്പെടുത്തിയ ബ്രോണ്‍സ് സ്റ്റാര്‍ പുരസ്‌കാരം (1944) , ജോണ്‍ വോണ്‍ ന്യൂമന്‍ പുരസ്‌കാരം (1981) എന്നിവ നേടിയിട്ടുണ്ട്.

അല്‍ റോത്തിന്റെ ജനനം 1951 ഡിസംബര്‍ 19-നു അമേരിക്കയിലാണ്. 1971-ല്‍ കൊളംബിയ സര്‍വ്വകലാശാലയില്‍നിന്നും ഓപറേഷണല്‍ റിസര്‍ച്ചില്‍ ബിരുദം കരസ്ഥമാക്കി. അതിനു ശേഷം സ്റ്റാന്‍ഫോര്‍ഡ് സര്‍വ്വകലാശാലയില്‍ ബിരുദാനന്തര ബിരുദത്തിനു ചേര്‍ന്ന് 1973-ല്‍ എം.എസ് സും 1974 (ഒരുവര്‍ഷത്തിനുള്ളില്‍!) പി.എച് ഡി യും കരസ്ഥമാക്കി. ഇല്ലിനോയി, പിറ്റ്‌സ്ബര്‍ഗ്, ഹാര്‍വഡ് തുടങ്ങിയ സര്‍വ്വകലാശാലകളില്‍ സേവനമനുഷ്ഠിച്ചതിനുശേഷം ഇപ്പോള്‍ സ്റ്റാന്‍ഫോര്‍ഡ് സര്‍വ്വകലാശാലയില്‍ പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്നു. അമേരിക്കന്‍ അക്കാദമി ഓഫ് ആര്‍ട്‌സ് ആന്‍ഡ് സയന്‍സ്, എക്കൊണോമെട്രിക് സൊസൈറ്റി തുടങ്ങിയവയില്‍ ഫെല്ലോ ആയി സേവനമനുഷ്ഠിച്ചിട്ടുണ്ട് . നോബല്‍ സമ്മാനത്തിനു പുറമേ ഗുഗ്ഗന്‍ഹേം, ലെന്‍ചെസ്‌റ്റര്‍, ടി ഡബ്ലിയൂ ശുല്‍സ് സമ്മാനം തുടങ്ങിയ ലഭിച്ചിട്ടുണ്ട് 7.

പഠനങ്ങളും സംഭാവനകളും

ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിലെ അതുല്യ പ്രതിഭയായ ജോണ്‍ വോണ്‍ ന്യൂമനില്‍ നിന്നുള്ള പ്രചോദനം ഉള്‍കൊണ്ടിട്ടാണ് ഷേപ്ലി തന്റെ ഗവേഷണം ആരംഭിക്കുന്നത്. അതിനാല്‍ തന്നെ, ഗെയിം തിയറിയിലെ എക്കാലത്തെയും മികച്ച പ്രതിഭ എന്ന് റോബര്‍ട്ട് ഒമാന്‍ തന്റെ 2005 ലെ നോബല്‍ പ്രസംഗത്തില്‍, ഷേപ്ലിയെ വിശേഷിപ്പിച്ചതില്‍ അത്ഭുതമില്ല. 8 ഷേപ്ലിയുടെ പ്രധാന സംഭാവനകള്‍ നോക്കുകയാണെങ്കില്‍ ഷേപ്ലി മൂല്യം (Shapley Value)9, ബോന്ധരേവ-ഷേപ്ലി സിദ്ധാന്തം (Bondareva-Shapley theorem) 10, ഷേപ്ലി-ശുബിക് വര്‍ഗ്ഗപ്പെരുക്കല്‍ സൂചിക (Shapley–Shubik power index) 11, ഗയില്‍-ഷേപ്ലി അല്‍ഗോരിതം(Gale–Shapley algorithm) 12, ഓമാന്‍-ഷേപ്ലി വിലനിര്‍ണ്ണയം (Aumann–Shapley pricing) 13, ഷേപ്ലി-ഫോക്മന്‍ സിദ്ധാന്തം (Shapley–Folkman lemma) 14, നിരവധി കളികളും അതിന്റെ നിയമങ്ങളും ഫലങ്ങളും (ഉദാ: ക്രമമല്ലാത്ത (stochastic) 15, സമര്‍ത്ഥമായ (potential) 16 തുടങ്ങിയ കളികള്‍) എന്നിങ്ങനെ നിരവധി പഠനങ്ങള്‍ നിരത്താവുന്നതാണ് 17. ഇതില്‍ ചില പഠനങ്ങള്‍ നമുക്ക് പിന്നീട് പരിചയപ്പെടാം.

ഷേപ്ലിയുടെ സൈദ്ധാന്തിക അടിത്തറ ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ട് എത്തരത്തിലാണ് കമ്പോളം വ്യത്യസ്തങ്ങളായ രീതിയില്‍ പ്രതികരിക്കുന്നത് അഥവാ കാര്യനിവൃത്തി നടത്തുന്നത് എന്ന പഠനമാണ് അല്‍ റോത്ത് നടത്തിയത് 18. അതുവഴി കമ്പോളത്തിന്റെ വിലയില്‍ വിഭാവന ചെയ്യാനാകാത്ത പ്രവര്‍ത്തനങ്ങളെ പുനരാസൂത്രണംചെയ്ത് പ്രവര്‍ത്തിപ്പിക്കാവുന്നതാണ് എന്ന് തെളിയിക്കുന്നതിനാണ് റോത്ത് ശ്രമിച്ചത്. ഈ പരിശ്രമത്തിനുള്ള പ്രതിഫലമായിട്ടാണ് 2012 ലെ സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്ര നോബല്‍ സമ്മാനത്തെ നോക്കിക്കാണേണ്ടത്. ഇതിന്റെ സാധ്യതകളെക്കുറിച്ചു നമുക്ക് ലളിതമായി മനസ്സിലാക്കാം.

സഹകരണാടിസ്ഥാനത്തിലുള്ള പ്രവര്‍ത്തനങ്ങളില്‍ അഥവാ കളികളില്‍ (cooperative game) ഉണ്ടാക്കപ്പെടുന്ന മിച്ചം ആ കളിയില്‍ ഏര്‍പ്പെട്ടിരിക്കുന്നവര്‍ക്കിടയില്‍ സമാനതകളില്ലാത്തവിധത്തില്‍ വിഭജിക്കപ്പെടുന്നു, ഇതിനെ ഷേപ്ലി മൂല്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇതില്‍ പ്രതിപാദിക്കുന്നത് ക്ലിപ്തമാക്കപ്പെട്ട പ്രവര്‍ത്തകരുടെ സഹകരണത്തെയാണ്.19 ഉദാഹരണത്തിന് നമുക്ക് കുടുംബശ്രീ പ്രവര്‍ത്തനം (ഒരു കളിയായി) വിലയിരുത്താം. വീടുകളിലെ മാലിന്യം നീക്കംചെയ്യുന്ന നാല് കുടുംബശ്രീ പ്രവര്‍ത്തകരാണെന്നിരിക്കട്ടെ. ഇവരുടെ പ്രവര്‍ത്തനം കൂട്ടായ്മയിലൂടെ മാത്രമേ ഫലപ്രാപ്തി കൈവരിക്കുകയുള്ളൂ. അതിനാല്‍ ഇവര്‍ ചെയ്യുന്ന പ്രവര്‍ത്തിയുടെ പ്രതിഫലം ഇവര്‍ വീതിക്കുന്നത് യോജ്യമായ ഒരു തുകയായിട്ടാണ്, ഈ തുകയെ നമുക്ക് ഷേപ്ലി മൂല്യം എന്ന് വിളിക്കാം. ഇതിന്റെ പ്രത്യേകത ഒരുമിച്ചു ചെയ്യുന്ന പ്രവര്‍ത്തിയുടെ മിച്ചം ചിലര്‍ മാത്രം കൂടുതല്‍ കൈപറ്റുന്നത് ഒഴിവാക്കുന്ന ഗണിത പ്രതിവിധിയാണ് മുന്നോട്ടുവയ്ക്കുന്നത് എന്നതാണ്. ഇതിനു ഉപോല്‍ബലകമാകുന്നത് കാര്യക്ഷമത (Efficiency), സമതുലനം (Symmetry), അടിറ്റിവിറ്റി (Additivity) മുതലായ മാനദണ്ഡങ്ങളാണ്.

Stable marriage problem തിട്ടപ്പെടുത്താവുന്നതും അംഗസംഖ്യ തുല്യവുമായ രണ്ട് ഗണങ്ങള്‍ ഉണ്ടെന്നു കരുതുക. ഓരോ ഗണാംഗത്തിന്റെയും താല്പര്യത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍, രണ്ടു പേരെ തമ്മില്‍ പരസ്പരം പൊരുത്തപെടുത്തിയാല്‍, എല്ലാ ഗണാംഗങ്ങളും സ്ഥിരമായ ഒരു ജോഡി ഉറപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള വഴിയാണ് ഗയില്‍-ഷേപ്ലി അല്‍ഗോരിതം മുന്നോട്ടുവക്കുന്നത്.
Image Credit: User_A1 @Wikipedia

മേല്‍പ്പറഞ്ഞ കണ്ടെത്തലില്‍ നിന്നുള്ള മുന്നോട്ടുപോക്കാണ് മറ്റ് പല സിദ്ധാന്തങ്ങളും. എന്നാല്‍ അതില്‍ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടതാണ് ഗയില്‍-ഷേപ്ലി അല്‍ഗോരിതം. തിട്ടപ്പെടുത്താവുന്നതും അംഗസംഖ്യ തുല്യവുമായ രണ്ട് ഗണങ്ങള്‍ ഉണ്ടെന്നു കരുതുക. ഓരോ ഗണാംഗത്തിന്റെയും താല്പര്യത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍, രണ്ടു പേരെ തമ്മില്‍ പരസ്പരം പൊരുത്തപെടുത്തിയാല്‍, എല്ലാ ഗണാംഗങ്ങളും സ്ഥിരമായ ഒരു ജോഡി ഉറപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള വഴിയാണ് ഗയില്‍-ഷേപ്ലി അല്‍ഗോരിതം മുന്നോട്ടുവക്കുന്നത്.20 നമുക്ക് ഇവരുടെ ഉദാഹരണം തന്നെ പരിശോധിക്കാം. പുരുഷന്മാരുടെതും സ്ത്രീകളുടെതുമായ രണ്ടു ഗണങ്ങള്‍ എടുക്കുക. ഓരോ ഗണത്തിലും പത്ത് അംഗങ്ങള്‍ അനുമാനിക്കുക. അങ്ങനെയാണെങ്കില്‍ ഓരോ പുരുഷനും തങ്ങള്‍ക്കു ഏറ്റവും ഇഷ്ടപ്പെട്ട സ്ത്രീയോട് ഇഷ്ടം പറയുകയും അവര്‍ അത് സമ്മതിക്കുകയോ നിരാകരിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നു. ഇങ്ങനെ പലവുരു എല്ലാവരും എല്ലാവരെയും വിവാഹാഭ്യര്‍ത്ഥന നടത്തുന്നതുവരെ കളി ആവര്‍ത്തിച്ചാല്‍ തങ്ങള്‍ക്കിഷ്ടപ്പെട്ടവരെ വിവാഹംകഴിക്കാന്‍ കഴിയും. ഇങ്ങനെ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന ബന്ധം സ്ഥിരമായിരിക്കും 21.

യുക്തിയുക്തമായ ഈ സൈദ്ധാന്തികവശത്തെ കമ്പോളത്തിലേക്ക് പരീക്ഷിക്കുക എന്ന അങ്ങേയറ്റം ദുസ്സഹമായ പരീക്ഷണ നിരീക്ഷണങ്ങളാണ് റോത്ത് തന്റെ പഠനങ്ങളിലൂടെ രൂപകല്‍പന ചെയ്തത്. തത്വത്തില്‍ ഗയില്‍-ഷേപ്ലി യുക്തിയെ കമ്പോള മാതൃകയില്‍ സന്നിവേശിപ്പിക്കുകയാണ്, പലതരത്തിലുള്ള കമ്പോള പുനക്രമീകരണങ്ങളിലൂടെ റോത്ത് യാഥാര്‍ത്യമാക്കിയത്. കേരളത്തിലെ പ്ലസ് വണ്‍ പ്രവേശനം, അല്ലെങ്കില്‍ എഞ്ചിനീയറിംഗ് സീറ്റ്‌ അലോട്ട്മെന്റ് ഏകദേശം ഈ മാതൃകയുടെ വളരെ അപരിഷ്‌കൃത രൂപമാണെന്ന് വിളിക്കാവുന്നതാണ്.

ഷേപ്ലി മൂല്യവും, ഗയില്‍-ഷേപ്ലി അല്‍ഗോരിതത്തിന്റെയും മുന്നോട്ടുപോക്കാണ് മറ്റുപല പ്രധാന കളിനിയമങ്ങളും ആവിഷ്‌ക്കരിക്കുന്നത് എന്നു പറഞ്ഞല്ലോ. ഉദാഹരണത്തിന് 'എല്ലാ സഹകരണ പ്രവര്‍ത്തനത്തിനും ഒരു സുകരമായ ഫലം സാധ്യമാണ്' (ബോന്ധരേവ-ഷേപ്ലി സിദ്ധാന്തം) 22; 'അനന്തമായ പ്രവര്‍ത്തകരുള്ള സഹകരണ പ്രവര്‍ത്തനമോ കളികളിലോ പോലും ഷേപ്ലി മൂല്യം നിലനില്‍ക്കുന്നു, അതിനാല്‍ത്തന്നെ അനന്തമായ പ്രവര്‍ത്തകരുള്ള കളികളില്‍ ഇവര്‍ ഉണ്ടാക്കുന്ന മിച്ചം നിയതമായി വിഭജിക്കപ്പെടും' (ഓമാന്‍-ഷേപ്ലി വിലനിര്‍ണയം) 23.

വാല്‍കഷ്ണം

ചുരുക്കത്തില്‍ ഷേപ്ലിയുടെ പഠനവും ആല്‍വിന്‍ റോത്തിന്റെ പരീക്ഷണങ്ങളും മുന്നോട്ടു വക്കുന്നത് എല്ലാ സഹകരണ പ്രവര്‍ത്തനത്തിലൂടെയും കാര്യക്ഷമമായതും സ്ഥായിയായതുമായ മിച്ചം ഉണ്ടാക്കാന്‍ സാധിക്കുമെന്നും അവ സഹകരണാടിസ്ഥാനത്തില്‍ വീതംവയ്ക്കപ്പെടുമെന്നും, അങ്ങനെയാണെങ്കില്‍ ആ വ്യവസ്ഥ സ്ഥായിയായിതന്നെ തുടരും എന്നുമുള്ള ആശയത്തിന്റെ ഗണിത പരിഹാരമാണ്. സഹകരണ പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ (cooperative games) ഇത്തരത്തില്‍ മുന്നോട്ട് വെക്കുന്നത് ഞാന്‍ എന്ന വ്യക്തിയുടെ ഉയര്‍ച്ച താഴ്ചകള്‍, നമ്മള്‍ എന്ന കൂട്ടത്തോട് കടപ്പെട്ടിരിക്കും എന്ന മുദ്രാവാക്യമാണ്. ഇത് തന്നെയാണ് ആഫ്രിക്കയിലെ ഉബുണ്ടുവും ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്. അതിനാല്‍ നിയോക്ലാസിക്കലുകളും, സയണിസ്റ്റുകളുമാണ് (ഉദാ: ഓമാന്‍) നോബല്‍ സമ്മാനം കരസ്ഥമാക്കുന്നതെങ്കിലും ഇത്തവണത്തെ നോബലിനൊരു സാമൂഹിക മാനം തോന്നുന്നില്ലേ? അതിനാലാണ് ഈ കുറിപ്പും.

  • 1. ഉല്‍പാദന ഉപഭോഗങ്ങളുടെ ക്രയ-വിക്രയങ്ങള്‍, പൂര്‍ണ്ണമായ വിവരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ ലാഭേച്ഛയോടുകൂടി തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെടുന്നു എന്നും, അത്തരം തിരഞ്ഞെടുപ്പുകള്‍ മാത്രം യുക്തിപൂര്‍ണ്ണമെന്നും വാദിക്കുന്ന സാമ്പത്തികശാസ്ത്ര ധാരയാണ് നിയോക്ലാസ്സിക്കല്‍ സാമ്പത്തികശാസ്ത്രം. ഈ വാദം മുന്നോട്ടു വെക്കുന്ന പ്രധാന കമ്പോള ക്രമം, വിലയാണ് ചോദനത്തേയും പ്രദാനത്തേയും നിര്‍ണ്ണയിക്കുന്നത് എന്നതാണ്.
  • 2. മുതലാളിത്തവും നോബല്‍ സമ്മാനവും : http://dillipost.in/?p=4561
  • 3.
  • 4. http://adsabs.harvard.edu/full/1981Ap&SS..79..261; http://en.wikipedia.org/wiki/Lloyd_Shapley
  • 5. The Scale of the Universe, NRC Transcripts - http://apod.nasa.gov/diamond_jubilee/1920/cs_nrc.html ; On the nature and cause of Cepheid variation, Harlow Shapley - http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-iarticle_query?1914ApJ....40..448S
  • 6. In Memoriam - Martha Betz Shapley : http://articles.adsabs.harvard.edu//full/1981Ap%26SS..79..261./0000261.000.html
  • 7. http://kuznets.fas.harvard.edu/~aroth/vita.pdf; http://en.wikipedia.org/wiki/Alvin_E._Roth
  • 8. http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/economics/laureates/2005/aumann-lecture.pdf
  • 9. Shapley, Lloyd S (1953) "A Value for n-person Games". In Contributions to the Theory of Games, volume II, by H.W. Kuhn and A.W. Tucker, (eds.) Annals of Mathematical Studies vol. 28, pp. 307–317, Princeton University Press. ഇതിനെക്കുറിച്ച്‌ പ്രതിപാദിക്കുന്ന മറ്റൊരു ലേഖനം Winter, Eyal (2002) “the Shapley Value” In Handbook of Game Theory with Economic Application, Robert Aumann and Sergui Hart (eds.) vol. 3 pp. 2025-2054, Elsevier.
  • 10. Kannai, Y (1992), "The core and balancedness", in Handbook of Game Theory with Economic Applications, by Robert Aumann and Sergiu Hart (eds.) Volume I, pp. 355–395, Elsevier.
  • 11. Shapley, Lloyd S and Martin Shubik (1954) “A Method for Evaluating the Distribution of Power in a Committee System”, American Political Science Review, vol. 48, pp. 787–792.
  • 12. Gale, David and Lloyd S Shapley (1962) "College Admissions and the Stability of Marriage", American Mathematical Monthly vol. 69, pp. 9-14.
  • 13. Aumann, Robert J and Lloyd S Shapley (1974) Values of non-atomic games, Princeton University Press.
  • 14. ഇതാദ്യമായി അവതരിപ്പിച്ചത് റോസ്സ് സ്റ്റാര്‍ ആണ്. Starr, Ross M (1969) “Quasi-equilibria in markets with non-convex preferences”, Econometrica, vol. 37, pp. 25–38.
  • 15. Shapley, Lloyd S (1953) "Stochastic games", Proceedings of the National Academy of Sciences vol. 39, pp. 1095–1100 http://www.pnas.org/content/39/10/1095.full.pdf
  • 16. Monderer, Dov and Lloyd S Shapley (1996) "Potential Games", Games and Economic Behavior vol. 14, pp. 124–143.
  • 17. കളികളെക്കുറിച്ചുള്ള ഈ ലേഖനത്തിലും ഗെയിം തിയറിയുടെ അഡ്വാന്‍സ്ഡ് സ്റ്റേജ് മനസ്സിലാക്കാനും ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നത് Auman, Robert and Sergui Hart (eds.) Handbook of Game Theory with Economic Applications, three volumes, Elsevier (ഒന്നാം വാല്യം 1992 ലും രണ്ടാംവാല്യം 1994 ലും മൂന്നാംവാല്യം 2002 പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു.)
  • 18. വ്യത്യസ്തങ്ങളായ ലേഖനങ്ങള്‍ മാചിങ്ങിനെകുറിച്ച് എഴുതിയിട്ടുണ്ട് അതില്‍ ചിലത് താഴെ കുറിക്കുന്നു. Roth, Alvin E (1982) “The economics of matching: Stability and incentives, Mathematics of Operations Research vol. 7, pp. 617-628; Roth, Alwin E (1985) "The College Admissions Problem is not Equivalent to the Marriage Problem". Journal of Economic Theory vol. 36, pp.277–288; Roth, Alwin E and E Peranson (1999) "The Redesign of the Matching Market for American Physicians: Some Engineering Aspects of Economic Design", American Economic Review vol. 89, pp. 748–780; Roth, Alwin E; T Sönmez and M U Ünver (2004) "Kidney exchange" Quarterly Journal of Economics, vol. 119, pp. 457–488.
  • 19. ഷേപ്ലി മൂല്യത്തിന്റെ വിശദമായ വിവരണം ഇവിടെ കാണാം: http://www.owlnet.rice.edu/~econ440/CHAPTER%201.1.pdf ; http://www.ma.huji.ac.il/hart/papers/val-palg2.pdf
  • 20. ഗയില്‍-ഷേപ്ലി അല്‍ഗോരിതത്തിന്റെ വിശദമായ വിവരണം ഇവിടെ കാണാം: http://www.cs.cmu.edu/afs/cs.cmu.edu/academic/class/15251-f10/Site/Materials/Lectures/Lecture21/lecture21.pdf
  • 21. ഗയില്‍-ശേപ്ലി അല്‍ഗോരിതത്തിന്റെമറ്റൊരു പേര് സ്റ്റേബില്‍ മാരേജ് പ്രോബ്ലം എന്നാണ്. ഇതിനു കാരണം അവര്‍ ഉപയോഗിച്ച ഉദാഹരണം തന്നെയാണ്.
  • 22. In game theory, the Bondareva–Shapley theorem describes a necessary and sufficient condition for the non-emptiness of the core of a cooperative game. http://en.wikipedia.org/wiki/Bondareva-Shapley_theorem
  • 23. Lloyd Shapley and Robert Aumann extended the concept of the Shapley value to infinite games (defined with respect to a non-atomic measure), creating the diagonal formula. http://en.wikipedia.org/wiki/Aumann%E2%80%93Shapley_value#Aumann.E2.80.93Shapley_value
algorithm, alvin roth, cooperative games, game theory, lloyd shapley, nobel prize 2012, Note, Economics Share this Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported

Reactions

Add comment

Login to post comments